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  • Ex.3.2 c8

    Exercise 3.2 — Cube Roots (Full Solutions)

    Q1. Find the cube roots of the following numbers

    Method: express each number as a product of prime factors in groups of three, then take one factor from each group.

    No.NumberPrime FactorisationCube Root
    (a)64\(2^6 = (2^2)^3\)\(\sqrt[3]{64}=4\)
    (b)343\(7^3\)\(\sqrt[3]{343}=7\)
    (c)512\(2^9=(2^3)^3\)\(\sqrt[3]{512}=8\)
    (d)2744\(2^3\times 7^3\)\(\sqrt[3]{2744}=14\)
    (e)10648\(2^3\times 11^3\)\(\sqrt[3]{10648}=22\)
    (f)17576\(2^3\times 13^3\)\(\sqrt[3]{17576}=26\)
    (g)−1728\(-(2^6\times 3^3)=-(12^3)\)\(\sqrt[3]{-1728}=-12\)
    (h)27000\(2^3\times 3^3\times 5^3\)\(\sqrt[3]{27000}=30\)
    (i)91125\(3^6\times 5^3=(45)^3\)\(\sqrt[3]{91125}=45\)
    (j)−35937\(-(3^3\times 11^3)=-(33^3)\)\(\sqrt[3]{-35937}=-33\)
    (k)−17576\(-(2^3\times 13^3)=-(26^3)\)\(\sqrt[3]{-17576}=-26\)
    (l)\(\dfrac{27}{-4096}\)\(27=3^3,\ 4096=2^{12}=(16)^3\)\(\sqrt[3]{\dfrac{27}{-4096}}=\dfrac{3}{-16}=-\dfrac{3}{16}\)

    Q2. Show that the following are true

    (a) \(\sqrt[3]{8}\times\sqrt[3]{729}=\sqrt[3]{8\times 729}\)

    LHS: \(\sqrt[3]{8}=2,\ \sqrt[3]{729}=9 \Rightarrow 2\times 9=18\)

    RHS: \(8\times 729=5832,\ \sqrt[3]{5832}=18\)

    LHS = RHS = 18 ✓ Hence proved.

    (b) \(\sqrt[3]{125}\times\sqrt[3]{343}=\sqrt[3]{125\times 343}\)

    LHS: \(\sqrt[3]{125}=5,\ \sqrt[3]{343}=7 \Rightarrow 5\times 7=35\)

    RHS: \(125\times 343=42875,\ \sqrt[3]{42875}=35\)

    LHS = RHS = 35 ✓ Hence proved.

    (c) \(\dfrac{\sqrt[3]{729}}{\sqrt[3]{1000}}=\sqrt[3]{\dfrac{729}{1000}}\)

    LHS: \(\dfrac{9}{10}\)

    RHS: \(\sqrt[3]{0.729}=0.9=\dfrac{9}{10}\)

    LHS = RHS = 9/10 ✓ Hence proved.

    (d) \(\dfrac{\sqrt[3]{-216}}{\sqrt[3]{1331}}=\sqrt[3]{\dfrac{-216}{1331}}\)

    LHS: \(\dfrac{-6}{11}\)

    RHS: \(\sqrt[3]{\dfrac{-216}{1331}}=-\dfrac{6}{11}\)

    LHS = RHS = −6/11 ✓ Hence proved.

    Q3. Evaluate each of the following

    (a) \(\sqrt[3]{4^3\times 6^3}=4\times 6=24\)

    (b) \(\sqrt[3]{8^3\times 17^3}=8\times 17=136\)

    (c) \(\sqrt[3]{700\times 2\times 49\times 5}\)
    \(=\sqrt[3]{7^3\times 10^3}\)  (since \(700\times 2\times 49\times 5 = 343000 = 7^3\times 10^3\))
    \(=7\times 10=70\)

    (d) \(\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{0.008}+\sqrt[3]{0.064}\)
    \(=3+0.2+0.4=3.6\)

    (e) \(\sqrt[3]{1000}+\sqrt[3]{0.008}-\sqrt[3]{0.125}\)
    \(=10+0.2-0.5=9.7\)

    (f) \(\sqrt[3]{\dfrac{729}{216}}\times \dfrac{6}{9}\)
    \(\sqrt[3]{\dfrac{729}{216}}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
    \(=\dfrac{3}{2}\times\dfrac{6}{9}=\dfrac{3}{2}\times\dfrac{2}{3}=1\)


    Q4. Find the cube roots using the given factorisations

    (a) \(2460375=3375\times 729=15^3\times 9^3=(15\times 9)^3=135^3\)

    \(\sqrt[3]{2460375}=135\)

    (b) \(20346417=9261\times 2197=21^3\times 13^3=(21\times 13)^3=273^3\)

    \(\sqrt[3]{20346417}=273\)

    (c) \(210644875=42875\times 4913=35^3\times 17^3=(35\times 17)^3=595^3\)

    \(\sqrt[3]{210644875}=595\)

    (d) \(57066625=166375\times 343=55^3\times 7^3=(55\times 7)^3=385^3\)

    \(\sqrt[3]{57066625}=385\)

    Q5. Volume of a cubical box = 13.824 m³. Find the side length

    Side \(=\sqrt[3]{13.824}=\sqrt[3]{\dfrac{13824}{1000}}\)

    \(13824=2^9\times 3^3=(24)^3\), and \(1000=10^3\)

    Side = \(\dfrac{24}{10}=2.4\) metres

    Q6. Divide 26244 by the smallest number so the quotient is a perfect cube

    Prime factorisation: \(26244=2^2\times 3^8\)

    Group in threes: \(2^2\) is one short of a triple (extra pair), \(3^8=3^6\times 3^2\) leaves an extra \(3^2\).

    To make the quotient a perfect cube, we must remove the un-grouped factors \(2^2\times 3^2=4\times 9=36\).

    Smallest number to divide by = 36
    Quotient = \(26244\div 36=729=3^6=9^3\)
    Cube root of quotient = \(\sqrt[3]{729}=9\)

    Q7. Smallest number to multiply 137592 by, to make a perfect cube

    Prime factorisation: \(137592=2^3\times 3^3\times 7^2\times 13^1\)

    \(2^3\) and \(3^3\) are already complete triples. \(7^2\) needs one more 7; \(13^1\) needs two more 13’s.

    Smallest multiplier \(=7\times 13\times 13=7\times 169=1183\)

    Smallest number to multiply by = 1183
    Product = \(137592\times 1183=162771336=2^3\times 3^3\times 7^3\times 13^3=(2\times 3\times 7\times 13)^3=546^3\)
    Cube root of product = \(\sqrt[3]{162771336}=546\)

  • The Result of Disobedience Hindi

    अवज्ञा का परिणाम (The Result of Disobedience)

    अवज्ञा का परिणाम

    The Result of Disobedience

    मेडवे नदी के तट पर एक सुंदर विला में डार्नले नाम के एक सज्जन रहते थे। अपनी प्रिय पत्नी के निधन के कारण उनके चेहरे पर उदासी और उनके व्यवहार में गंभीरता आ गई थी। हालाँकि, श्री डार्नले एक मिलनसार, सौम्य, परोपकारी और दयालु सज्जन थे। श्री डार्नले के पास पर्याप्त संपत्ति थी जिससे वे एक गवर्नेस (दाई) रख सकते थे। नर्स चैपमैन एक योग्य महिला थीं, जिनकी देखभाल में वे अपनी बेटियों; एमिली, सोफिया, अमांडा और एलिज़ा को सुरक्षित रूप से सौंप सकते थे।

    श्री डार्नले की इच्छा थी कि बच्चियां सुबह जल्दी उठें और नाश्ते से पहले एक लंबी सैर पर जाएं, लेकिन उन्हें सख्त आदेश दिया गया था कि जब तक उनके पिता उनके साथ न हों, वे कभी भी अपनी संपत्ति की सीमा से बाहर न जाएं। इस आदेश की अनदेखी करने के लिए उन्होंने अक्सर नर्स चैपमैन को मनाने की कोशिश की थी, लेकिन, अपने ऊपर रखे गए भरोसे के प्रति वफादार रहते हुए, उन्होंने हमेशा उनके बार-बार किए गए अनुरोधों को ठुकरा दिया।

    श्री डार्नले के रोचेस्टर जाने के अगले दिन सुबह, बेचारी महिला (नर्स) काफी अस्वस्थ हो गई और सामान्य समय पर उठने में पूरी तरह असमर्थ थी। हालाँकि, बच्चे सैर के लिए तैयार थे, और आया (नर्समेड) सुसान को झाड़ियों से आगे न जाने का निर्देश दिया गया था, और वे सभी बहुत अच्छे मूड में बाहर गए।

    ‘अब, सुसान,’ सोफिया ने बगीचे में प्रवेश करते ही कहा, ‘यही एकमात्र अवसर है जब तुम हम पर अहसान कर सकती हो। कृपया हमें गाँव तक चलने दो, और फिर तुम जानती हो कि तुम अपने माता-पिता से भी मिल सकती हो।’ ‘अरे, मिस!’ लड़की ने उत्तर दिया, ‘आप जानती हैं कि अगर नर्स चैपमैन को पता चल गया तो मेरी नौकरी चली जाएगी।’ ‘पता चल जाएगा,’ अमांडा ने कहा; ‘तुम्हें क्या लगता है कि उसे कैसे पता चलेगा? चलो, हमें जाने दो, तुम तो बहुत अच्छी हो।’ ‘हाँ, प्यारी, प्यारी सुसान, हमें जाने दो,’ एलिज़ा ने उनके आगे उछलते हुए कहा, ‘और मैं तुम्हें रास्ता दिखाऊंगी, क्योंकि पिछली गर्मियों में मैं पिताजी के साथ वहां गई थी।’ यह एक दुर्भाग्यपूर्ण घड़ी थी कि सुसान मान गई, और वे लोग जल्द ही गाँव पहुँच गए। सुसान की माँ उसे देखकर बहुत खुश हुई, और युवा लड़कियों की उपस्थिति से बहुत सम्मानित महसूस कर रही थी।

    ‘ओह, प्यारी, मनमोहक बच्चियों!’ बूढ़ी औरत ने कहा, ‘मुझे इतनी लंबी सैर के बाद उनके खाने के लिए कुछ लाना चाहिए, और मेरा ओवन काफी गर्म है, मैं पंद्रह मिनट में उनके लिए एक छोटा केक बना सकती हूँ, और दस मिनट में जेनी (गाय) का दूध दूह लाऊँगी।’ उसके गर्म केक और ताज़े दूध का प्रलोभन रोका नहीं जा सका, और सुसान ने चिमनी के ऊपर से कुछ सुंदर चीनी मिट्टी के कप उतारे, और युवा लड़कियों के लिए उन्हें ध्यान से साफ़ किया।

    एलिज़ा अचानक एक पालतू मेमने को देखकर आकर्षित हो गई, जो अपने अभ्यस्त नाश्ते को माँगने के इरादे से मिमियाता हुआ अपनी मालकिन के पास गया था। वह उस छोटे जानवर की सुंदरता से इतनी खुश हुई कि वह उसे चूमना चाहती थी, और इसी उद्देश्य से उसे पकड़ने का प्रयास किया, जबकि बिली (मेमना), उसकी इस दयालुता के प्रति कृतघ्न होकर, अचानक उछला और भाग गया। एलिज़ा उसे पकड़ने की उम्मीद में उसके पीछे भागी, लेकिन वह मिमियाता हुआ मुख्य सड़क की ओर भाग गया।

    एक महिला, जिसका पहनावा गरीबी को दर्शाता था लेकिन जिसका मुस्कुराता हुआ चेहरा अच्छे स्वभाव का संकेत दे रहा था, उसी क्षण एक वैगन (गाड़ी) से नीचे उतरी, और परिचित स्वर में एलिज़ा को संबोधित करते हुए कहा: “यह मेमना तो आधा भी सुंदर नहीं है, मिस, जितना सुंदर मेरे घर पर है, यदि तुम मेरे साथ चलो, तो मैं वह तुम्हें दे दूँगी।” ‘ओह, इतना प्यारा जीव,’ एलिज़ा ने उत्तर दिया, ‘मैं उसे लेना कितना पसंद करूंगी!’ ‘ठीक है, तो मेरे साथ चलो, मिस,’ महिला ने कहा, ‘क्योंकि मैं बस यहीं रहती हूँ।’ ‘ठीक है, तो जल्दी करो,’ एलिज़ा ने कहा। ‘अपना हाथ मुझे दो, मिस,’ महिला ने उत्तर दिया; ‘और मुझे तुम्हें ऊपर उठाने दो,’ और फिर उसने उसे वैगन में धकेल दिया और गाड़ी चल पड़ी। एलिज़ा को एहसास हुआ कि उसका अपहरण किया जा रहा है, जब वैगन चालक क्रूरता से हँसा और बोला, ‘अच्छा शिकार है, पैगी।’ वह बहुत बुरी तरह रोई, और उससे विनती की कि उसे जाने दे। ‘तुम्हें जाने दूँ!’ उसने उत्तर दिया; ‘क्या, इतनी मुसीबत उठाकर तुम्हारा अपहरण करने के बाद? मेरी बहन को लेस बनाने के लिए बाल मजदूरों की आवश्यकता है। चुप रहो, वह तुम्हारे साथ अच्छा व्यवहार करेगी और तुम लेस बनाना सीखोगी और मेरी बहन को मुनाफा कमाने में मदद करोगी।’ एलिज़ा अब डर गई थी, ‘ओह, मेरी बहनें! मेरी बहनें! मुझे मेरी बहनों के पास जाने दो!’ बच्ची रोने लगी।

    ‘मैं कुछ ही दिनों में तुम्हारे लिए बहुत सी बहनें ढूँढ़ दूँगी,’ उस दुष्ट महिला ने कहा; और वे लंदन की ओर बढ़ गए। एलिज़ा के आँसू बहते रहे, लेकिन उसने शिकायत करने की हिम्मत नहीं की, क्योंकि उसकी अमानवीय साथी ने धमकी दी थी कि यदि उसने ज़रा भी शोर मचाने की कोशिश की तो वह उसकी हड्डियां तोड़ देगी। जब वे शहर पहुँचे, तो उसे कई सीढ़ियों के नीचे एक दयनीय अँधेरी जगह पर घसीटा गया, जहाँ उन्होंने उसे खाने के लिए कुछ ब्रेड और मक्खन दिया, और फिर उसे सोने के लिए कहा। वहाँ उसे उसकी अमानवीय अपहरणकर्ता द्वारा अपने दुर्भाग्य पर शोक मनाने और अपने पिता के आदेशों की अनदेखी करने पर पछताने के लिए अकेला छोड़ दिया गया।

    अगली सुबह उसे एक महिला के पास ले जाया गया और उसे बेच दिया गया। सौदा पक्का होने के बाद, उसे अंदर धकेल दिया गया जहाँ नौ या दस बच्चे एक छोटे से कमरे में बैठे लेस बना रहे थे। उसे एक साफ़-सुथरा, भूरे रंग का गाउन, एक अच्छी साफ़ गोल कानों वाली टोपी, और एक छोटा रंगीन बिब और एप्रन पहनाया गया; और उसे आदेश दिया गया कि यदि कोई व्यक्ति उसका नाम पूछे, तो वह अपना नाम बिडी बुलेन बताए, और यह कहे कि वह उसे काम पर रखने वाली महिला की भतीजी है।

    घर वापस, ‘मिस एलिज़ा! मिस एलिज़ा!’ की आवाज़ पूरे गाँव में गूँज रही थी, न केवल सुसान और उसकी माँ द्वारा, बल्कि उन सभी पड़ोसियों द्वारा भी जिन्होंने इस आपदा के बारे में सुना था। इस बीच उसकी बहनें दुख से पागल होकर इधर-उधर दौड़ रही थीं, और रोते हुए कह रही थीं, ‘एलिज़ा, मेरी प्यारी! मेरी जान! ओह, अगर तुम छिपी हुई हो, तो भगवान के लिए बोलो!”

    उसी समय बेचारी महिला (नर्स) अपने कमरे से बाहर निकली, और बगीचे में यह देखने गई कि उसकी छोटी बच्चियां कहाँ हैं; और घर की ओर तेज़ी से आ रहे समूह में एलिज़ा को न पाकर, वह चिल्लाई: ‘मेरी छोटी प्यारी, मिस एलिज़ा कहाँ है?’ ‘ओह, नर्स! नर्स!’ सोफिया ने कहा, ‘मेरी बहन खो गई है! सचमुच वह खो गई है!’ ‘खो गई!’ बेचारी बूढ़ी औरत चिल्लाई—’खो गई! तुम मुझे क्या बता रही हो? मैं यह क्या सुन रही हूँ? ओह, मेरे मालिक! मेरे प्यारे मालिक! मैं अब कभी उनका सामना नहीं कर पाऊँगी!’ सुसान ने फिर हर एक घटना को ठीक वैसे ही दोहराया जैसा कि ऊपर बताया गया है, और वह आहें भरते और रोते हुए बता रही थी। तुरंत नौकरों को बुलाया गया, और घोड़ों पर अलग-अलग दिशाओं में भेजा गया।

    जब श्री डार्नले को इस विनाशकारी घटना के बारे में बताया गया, तो उनके मन की व्याकुलता का आसानी से अनुमान लगाया जा सकता है, लेकिन उसका वर्णन कभी नहीं किया जा सकता। पूरे देश में तुरंत हैंडबिल (पर्चे) बांटे गए, बच्ची का हुलिया बताया गया, और उसकी वापसी के लिए पाँच सौ गिनी के इनाम की घोषणा की गई। खोई हुई एलिज़ा की कोई खबर मिले बिना नौ थकाऊ महीने बीत गए;

    ‘मैं खुद को कभी, कभी माफ नहीं करूँगी,’ सोफिया अक्सर कहती, ‘अपने प्यारे पिता के आदेश की अवहेलना करने के लिए!’

    अगस्त के महीने में एक बेहद गर्म दोपहर को, जब एलिज़ा और अन्य बच्चे हवा के लिए दरवाज़ा खुला रखकर कड़ी मेहनत कर रहे थे, एक बुजुर्ग महिला और सज्जन वहाँ आए। उन्होंने श्रीमती बुलेन को बताया कि उनकी बग्घी एक मील दूर टूट गई है, और उन्हें चिलचिलाती धूप में पैदल चलने के लिए मजबूर होना पड़ा है, इसलिए उन्होंने बैठने के लिए जगह मांगी। इतने सारे बच्चों को लगन से काम करते देखना उदार विचारों वाली श्रीमती मोंटेग्यू को विशेष रूप से सुखद लगा, और उन्होंने तुरंत उस महिला से उनके बारे में कई सवाल पूछने शुरू कर दिए; लेकिन उसके जवाब देने के तरीके में कुछ ऐसा भ्रम था जिसने श्रीमती मोंटेग्यू को आश्चर्यचकित कर दिया।

    “वे वास्तव में बहुत प्यारे बच्चे हैं, मेरे प्रिय,” उन्होंने दरवाज़े पर खड़े श्री मोंटेग्यू की ओर मुड़ते हुए कहा जो पास आती हुई बग्घी को देख रहे थे; “और जहाँ तक बाईं आंख के नीचे तिल वाली उस छोटी बच्ची की बात है, मैं घोषणा करती हूँ कि वह पूरी तरह से एक सुंदरता की मूरत है।” श्री मोंटेग्यू ने अपना सिर घुमाया, और एलिज़ा को ऐसी नज़र से देखा जिसने तुरंत साबित कर दिया कि उनकी भावनाएँ भी उनकी पत्नी जैसी ही थीं। “तुम्हारा नाम क्या है, मेरी बच्ची?” उन्होंने दयालुता के स्वर में पूछा। बच्ची का चेहरा डर से लाल हो गया, और उसने तुरंत अपनी अमानवीय मालकिन की ओर देखा, जिसने स्थिति को भाँपते हुए स्पष्ट घबराहट के साथ उत्तर दिया: “इसका नाम बिडी बुलेन है, श्रीमान; यह मेरी भतीजी है; लेकिन यह एक बेचारी डरपोक छोटी मूर्ख है, और जब भी कोई भद्र पुरुष इससे बात करता है तो हमेशा डर जाती है। जाओ, बिडी,” उसने आगे कहा, “ऊपर मेरे बेडरूम में जाओ, और उस धागे का ध्यान रखो जो तुम्हें रील पर मिलेगा।”

    “आपको उसकी इस घबराहट को दूर करने का प्रयास करना चाहिए,” श्री मोंटेग्यू ने कहा, “उसे हर उस अजनबी को जवाब देने दें जो उससे बात करता है; लेकिन यह काम खुद अपने ऊपर लेकर, आप बिल्कुल उस शर्मीलेपन को बढ़ावा दे रही हैं जिसकी आप शिकायत करती हैं। इधर आओ, मेरी छोटी बच्ची,” उन्होंने उसे ऊपर जाते हुए देखकर आगे कहा, “और महिला को बताओ कि तुम्हारा नाम क्या है।” श्री मोंटेग्यू के दयालु संबोधन से प्रोत्साहित होकर, उस घबराई हुई बच्ची ने उनके बुलावे का पालन किया, हालाँकि श्रीमती बुलेन ने उसे रोकने की पूरी कोशिश की। “तो,” बूढ़े सज्जन ने उसके गाल थपथपाते हुए आगे कहा, “तुम्हें यह प्यारा सा तिल कहाँ से मिला?” ‘मेरी माँ ने मुझे यह दिया है, श्रीमान,’ शरमाती हुई बच्ची ने उत्तर दिया; ‘लेकिन मैंने उन्हें ऐसा करते हुए नहीं देखा, क्योंकि नर्स चैपमैन ने मुझे बताया था कि मेरे जन्म लेते ही वह स्वर्ग चली गई थीं।’ ‘तुम्हारी माँ! और तुम्हारी माँ का नाम क्या था?’ श्री मोंटेग्यू ने पूछा। ‘डार्नले, श्रीमान,’ बच्ची ने उसे पढ़ाया गया सबक भूलते हुए कहा; ‘डार्नले!’ श्रीमती मोंटेग्यू चिल्लाईं—’वही बच्ची जिसके लिए पिछले बारह महीनों से सभी अखबारों में विज्ञापन दिया जा रहा है—फिर खुद को इस तथ्य के प्रति आश्वस्त करने के लिए मुड़ीं—’और यह तिल ही इसकी पुष्टि करता है।’ श्री मोंटेग्यू ने तुरंत उस महिला को पकड़ने की कोशिश की, लेकिन वह उनकी पकड़ से बच निकली, और पीछे के दरवाज़े से बाहर भागते हुए कुछ ही पलों में आँखों से ओझल हो गई।

    ‘क्या वह सच में चली गई? क्या वह चली गई?’ सभी छोटी आवाज़ों ने एक साथ पूछा, और श्री मोंटेग्यू द्वारा उन्हें आश्वस्त करने पर कि वह वास्तव में हमेशा के लिए चली गई है, उनकी खुशी हज़ार अलग-अलग तरीकों से फूट पड़ी–कुछ रोए, कुछ हँसे, और अन्य खुशी से उछल पड़े। संक्षेप में, इससे अधिक ऐसा कोई दृश्य नहीं हो सकता था जो एक परोपकारी हृदय की भावनाओं को इतने पूरी तरह से छू सके।

    इसी बीच श्री मोंटेग्यू की बग्घी आ गई, और नौकर को वाइकॉम्ब से मजिस्ट्रेट को लाने के लिए कहा गया, जबकि योग्य पादरी ने उनके आने तक वहीं रहने का निश्चय किया, और सभी बच्चों से पूछताछ करने लगे। एलिज़ा को छोड़कर सभी को तुरंत उनके संरक्षण में रखा गया, लेकिन श्रीमती मोंटेग्यू इतनी चिंतित थीं कि एलिज़ा की सबसे पहले देखभाल होनी चाहिए, इसलिए उन्होंने अपने पति से सीधे एक पोस्ट-चेज़ (किराए की बग्घी) का आदेश देने की विनती की, और वे तुरंत शहर के लिए निकल पड़े। इस अनुरोध को सहर्ष मान लिया गया, और अगली दोपहर तीन बजे तक वे लोग डार्नले हॉल पहुँच गए।

    बग्घी रुकने पर नर्स चैपमैन खिड़की पर खड़ी थीं, और लड़की की ओर ध्यान से देखते हुए अचानक अत्यधिक खुशी के स्वर में चिल्लाईं: ‘मेरी बच्ची! मेरी बच्ची! मेरी खोई हुई एलिज़ा!’

    श्री डार्नले, जो कुछ पढ़ रहे थे, अपनी सीट से उछल पड़े, और अत्यधिक आनंद में दरवाज़े की ओर दौड़े। एक मिनट से भी कम समय में वह अपनी एलिज़ा को अपने धड़कते दिल से लगाए हुए वापस लौटे। यह खुशी की खबर पूरे घर में फैल गई, और अन्य बच्चे बेताबी से खुशी के इस दृश्य को देखने के लिए दौड़े आए। उन्होंने एक-दूसरे को गले लगाया और रोए। लेकिन उस क्षण से सभी बच्चों ने सर्वसम्मति से एक बात पर सहमति व्यक्त की कि वे अपने पिता के आदेशों का सख्ती से पालन करेंगे, और कभी भी उनके फैसले के विरोध में कोई काम नहीं करेंगे।

    श्री और श्रीमती मोंटेग्यू को बहुत स्नेह दिया गया, और उनसे श्री डार्नले के मेहमान बने रहने का हार्दिक अनुरोध किया गया। इस मेहमाननवाज़ी भरे निमंत्रण को सहर्ष स्वीकार कर लिया जाता, यदि उन बेचारे बच्चों के विचारों ने उनका तत्काल ध्यान आकर्षित न किया होता जो अभी भी वाइकॉम्ब में थे। श्री मोंटेग्यू का परोपकारी चरित्र इतना महान था कि जब तक उनका कोई एक भी कर्तव्य अधूरा रहता, वे कभी चैन से नहीं बैठ सकते थे।

  • Class8th,Ex.5.2

    Exercise 5.2

    Question 1(a)

    Expand:

    \[ (a+b+2c)^2 \]

    Solution:

    Using the identity

    \[ (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx \]

    Here,

    \[ x=a,\qquad y=b,\qquad z=2c \]

    Substitute these values into the identity:

    \[ \begin{aligned} (a+b+2c)^2 &=a^2+b^2+(2c)^2+2(a)(b)+2(b)(2c)+2(a)(2c)\\ &=a^2+b^2+4c^2+2ab+4bc+4ac \end{aligned} \]

    Final Answer:

    \[ \boxed{a^2+b^2+4c^2+2ab+4ac+4bc} \]

    Exercise 5.2

    Question 1(b)

    Expand:

    \[ (3a-2b+c)^2 \]

    Solution:

    Using the identity

    \[ (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx \]

    Let

    \[ x=3a,\qquad y=-2b,\qquad z=c \]

    Substituting these values,

    \[ \begin{aligned} (3a-2b+c)^2 &=(3a)^2+(-2b)^2+c^2\\ &\quad+2(3a)(-2b)+2(-2b)(c)+2(3a)(c)
    &=9a^2+4b^2+c^2-12ab-4bc+6ac \end{aligned} \]

    Final Answer:

    \[ \boxed{9a^2+4b^2+c^2-12ab+6ac-4bc} \]

    Exercise 5.2

    Question 1(c)

    Expand:

    \[ (-2a+b+c)^2 \]

    Solution:

    Using the identity

    \[ (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx \]

    Let

    \[ x=-2a,\qquad y=b,\qquad z=c \]

    Substituting these values,

    \[ \begin{aligned} (-2a+b+c)^2 &=(-2a)^2+b^2+c^2\\ &\quad+2(-2a)(b)+2(b)(c)+2(-2a)(c)
    &=4a^2+b^2+c^2-4ab+2bc-4ac \end{aligned} \]

    Final Answer:

    \[ \boxed{4a^2+b^2+c^2-4ab-4ac+2bc} \]

    Exercise 5.2

    Question 1(d)

    Expand:

    \[ (-3x+y-2z)^2 \]

    Solution:

    \[ \begin{aligned} (-3x+y-2z)^2 &=(-3x)^2+y^2+(-2z)^2\\ &\quad+2(-3x)(y)+2(y)(-2z)+2(-3x)(-2z)\\ &=9x^2+y^2+4z^2-6xy-4yz+12xz \end{aligned} \]

    Answer:

    \[ \boxed{9x^2+y^2+4z^2-6xy+12xz-4yz} \]


    Question 1(e)

    Expand:

    \[ (m+5p-2n)^2 \]

    Solution:

    \[ \begin{aligned} (m+5p-2n)^2 &=m^2+(5p)^2+(-2n)^2\\ &\quad+2(m)(5p)+2(5p)(-2n)+2(m)(-2n)\\ &=m^2+25p^2+4n^2+10mp-20pn-4mn \end{aligned} \]

    Answer:

    \[ \boxed{m^2+25p^2+4n^2+10mp-4mn-20pn} \]


    Question 1(f)

    Expand:

    \[ (a^2+b^2+c^2)^2 \]

    Solution:

    \[ \begin{aligned} (a^2+b^2+c^2)^2 &=(a^2)^2+(b^2)^2+(c^2)^2\\ &\quad+2(a^2)(b^2)+2(b^2)(c^2)+2(c^2)(a^2)\\ &=a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2 \end{aligned} \]

    Answer:

    \[ \boxed{a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2} \]


    Question 1(g)

    Expand:

    \[ (ab+bc+ca)^2 \]

    Solution:

    \[ \begin{aligned} (ab+bc+ca)^2 &=(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\\ &\quad+2(ab)(bc)+2(bc)(ca)+2(ca)(ab)\\ &=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2ab^2c+2abc^2+2a^2bc \end{aligned} \]

    Answer:

    \[ \boxed{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2} \]


    Question 1(h)

    Expand:

    \[ \left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)^2 \]

    Solution:

    \[ \begin{aligned} \left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)^2 &=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\\ &\quad+2\left(\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{z}\right) +2\left(\frac{y}{z}\cdot\frac{z}{x}\right) +2\left(\frac{z}{x}\cdot\frac{x}{y}\right)\\ &=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2} +\frac{2x}{z}+\frac{2y}{x}+\frac{2z}{y} \end{aligned} \]

    Answer:

    \[ \boxed{\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}+\frac{2x}{z}+\frac{2y}{x}+\frac{2z}{y}} \]


    Question 1(i)

    Expand:

    \[ \left(\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}\right)^2 \]

    Solution:

    \[ \begin{aligned} \left(\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}\right)^2 &=\frac{x^2}{y^2z^2} +\frac{y^2}{z^2x^2} +\frac{z^2}{x^2y^2}\\ &\quad+2\left(\frac{x}{yz}\cdot\frac{y}{zx}\right) +2\left(\frac{y}{zx}\cdot\frac{z}{xy}\right) +2\left(\frac{z}{xy}\cdot\frac{x}{yz}\right)\\ &=\frac{x^2}{y^2z^2} +\frac{y^2}{z^2x^2} +\frac{z^2}{x^2y^2} +\frac{2}{z^2} +\frac{2}{x^2} +\frac{2}{y^2} \end{aligned} \]

    Answer:

    \[ \boxed{ \frac{x^2}{y^2z^2} +\frac{y^2}{z^2x^2} +\frac{z^2}{x^2y^2} +\frac{2}{x^2} +\frac{2}{y^2} +\frac{2}{z^2} } \]

  • Class-8th Ex.5.1

    Exercise 5.1 – Part 1

    Q1. Find the square of the following expressions.

    (a) Find the square of \( (3x+4y) \).

    \[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \] \[ (3x+4y)^2 =(3x)^2+2(3x)(4y)+(4y)^2 \] \[ =9x^2+24xy+16y^2 \]

    Answer: \[ \boxed{9x^2+24xy+16y^2} \]


    (b) Find the square of \( (9x+8y) \).

    \[ (9x+8y)^2 =(9x)^2+2(9x)(8y)+(8y)^2 \] \[ =81x^2+144xy+64y^2 \]

    Answer: \[ \boxed{81x^2+144xy+64y^2} \]


    (c) Find the square of \( (4x-5y) \).

    \[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \] \[ (4x-5y)^2 =(4x)^2-2(4x)(5y)+(5y)^2 \] \[ =16x^2-40xy+25y^2 \]

    Answer: \[ \boxed{16x^2-40xy+25y^2} \]


    (d) Find the square of \( (7x-3y) \).

    \[ (7x-3y)^2 =(7x)^2-2(7x)(3y)+(3y)^2 \] \[ =49x^2-42xy+9y^2 \]

    Answer: \[ \boxed{49x^2-42xy+9y^2} \]


    (e) Find the square of \( (x^2+y^2) \).

    \[ (x^2+y^2)^2 =(x^2)^2+2(x^2)(y^2)+(y^2)^2 \] \[ =x^4+2x^2y^2+y^4 \]

    Answer: \[ \boxed{x^4+2x^2y^2+y^4} \]

    Exercise 5.1 – Part 2

    Q1. Find the square of the following expressions.

    (f) Find the square of \( \left(\frac{3x}{2}-\frac{2y}{5}\right) \).

    \[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \] \[ \left(\frac{3x}{2}-\frac{2y}{5}\right)^2 = \left(\frac{3x}{2}\right)^2 – 2\left(\frac{3x}{2}\right)\left(\frac{2y}{5}\right) + \left(\frac{2y}{5}\right)^2 \] \[ = \frac{9x^2}{4} – \frac{6xy}{5} + \frac{4y^2}{25} \]

    Answer: \[ \boxed{\frac{9x^2}{4}-\frac{6xy}{5}+\frac{4y^2}{25}} \]


    (g) Find the square of \( \left(2x-\frac{1}{x}\right) \).

    \[ \left(2x-\frac1x\right)^2 = (2x)^2 – 2(2x)\left(\frac1x\right) + \left(\frac1x\right)^2 \] \[ = 4x^2 – 4 + \frac1{x^2} \]

    Answer: \[ \boxed{4x^2-4+\frac1{x^2}} \]


    (h) Find the square of \( \left(3z-\frac1z\right) \).

    \[ \left(3z-\frac1z\right)^2 = (3z)^2 – 2(3z)\left(\frac1z\right) + \left(\frac1z\right)^2 \] \[ = 9z^2 – 6 + \frac1{z^2} \]

    Answer: \[ \boxed{9z^2-6+\frac1{z^2}} \]


    (i) Find the square of \( (a^2b-b^2a) \).

    \[ (a^2b-b^2a)^2 = (a^2b)^2 – 2(a^2b)(b^2a) + (b^2a)^2 \] \[ = a^4b^2 – 2a^3b^3 + a^2b^4 \]

    Answer: \[ \boxed{a^4b^2-2a^3b^3+a^2b^4} \]


    (j) Find the square of \( (1.5x^2+0.3y^2) \).

    \[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \] \[ (1.5x^2+0.3y^2)^2 = (1.5x^2)^2 + 2(1.5x^2)(0.3y^2) + (0.3y^2)^2 \] \[ = 2.25x^4 + 0.9x^2y^2 + 0.09y^4 \]

    Answer: \[ \boxed{2.25x^4+0.9x^2y^2+0.09y^4} \]

    Exercise 5.1 – Part 3

    Q2. Find the value of the following.

    (a) Find \( (109)^2 \).

    \[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \] \[ 109^2=(100+9)^2 \] \[ =100^2+2(100)(9)+9^2 \] \[ =10000+1800+81 \] \[ =11881 \]

    Answer: \[ \boxed{11881} \]


    (b) Find \( (93)^2 \).

    \[ 93^2=(100-7)^2 \] \[ =100^2-2(100)(7)+7^2 \] \[ =10000-1400+49 \] \[ =8649 \]

    Answer: \[ \boxed{8649} \]


    (c) Find \( (0.98)^2 \).

    \[ (0.98)^2=(1-0.02)^2 \] \[ =1-2(0.02)+(0.02)^2 \] \[ =1-0.04+0.0004 \] \[ =0.9604 \]

    Answer: \[ \boxed{0.9604} \]


    (d) Find \(117\times83\).

    \[ 117\times83 =(100+17)(100-17) \] \[ =100^2-17^2 \] \[ =10000-289 \] \[ =9711 \]

    Answer: \[ \boxed{9711} \]


    (e) Find \( (399)^2 \).

    \[ 399^2=(400-1)^2 \] \[ =400^2-2(400)(1)+1^2 \] \[ =160000-800+1 \] \[ =159201 \]

    Answer: \[ \boxed{159201} \]


    (f) Find \(991\times1009\).

    \[ 991\times1009 =(1000-9)(1000+9) \] \[ =1000^2-9^2 \] \[ =1000000-81 \] \[ =999919 \]

    Answer: \[ \boxed{999919} \]


    (g) Find \( (199.5)^2 \).

    \[ 199.5^2=(200-0.5)^2 \] \[ =200^2-2(200)(0.5)+(0.5)^2 \] \[ =40000-200+0.25 \] \[ =39800.25 \]

    Answer: \[ \boxed{39800.25} \]


    (h) Find \( (0.54)^2-(0.46)^2 \).

    \[ a^2-b^2=(a+b)(a-b) \] \[ =(0.54+0.46)(0.54-0.46) \] \[ =1\times0.08 \] \[ =0.08 \]

    Answer: \[ \boxed{0.08} \]

    Exercise 5.1 – Part 4

    Q3. Evaluate.

    (a) Evaluate \( (ab+cd)(ab-cd) \).

    \[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \] \[ (ab+cd)(ab-cd) =(ab)^2-(cd)^2 \] \[ =a^2b^2-c^2d^2 \]

    Answer: \[ \boxed{a^2b^2-c^2d^2} \]


    (b) Evaluate \( (x-3y)(x+3y) \).

    \[ (x-3y)(x+3y) =x^2-(3y)^2 \] \[ =x^2-9y^2 \]

    Answer: \[ \boxed{x^2-9y^2} \]


    (c) Evaluate \( (a-0.2)(a+0.2) \).

    \[ (a-0.2)(a+0.2) =a^2-(0.2)^2 \] \[ =a^2-0.04 \]

    Answer: \[ \boxed{a^2-0.04} \]


    (d) Evaluate \( (4.5x^2-0.9y^2)(4.5x^2+0.9y^2) \).

    \[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \] \[ =(4.5x^2)^2-(0.9y^2)^2 \] \[ =20.25x^4-0.81y^4 \]

    Answer: \[ \boxed{20.25x^4-0.81y^4} \]

    Exercise 5.1 – Part 5

    Q4. Find the value of the following.

    (a) Find the value of \(4x^2+49y^2+28xy\), when \(x=1,\;y=2\).

    \[ 4x^2+49y^2+28xy =(2x)^2+(7y)^2+2(2x)(7y) \] \[ =(2x+7y)^2 \] Substituting \(x=1,\;y=2\), \[ =(2\times1+7\times2)^2 =(2+14)^2 =16^2 =256 \]

    Answer: \[ \boxed{256} \]


    (b) Find the value of \(25x^2+64y^2-80xy\), when \(x=4,\;y=3\).

    \[ 25x^2+64y^2-80xy =(5x)^2+(8y)^2-2(5x)(8y) \] \[ =(5x-8y)^2 \] Substituting \(x=4,\;y=3\), \[ =(5\times4-8\times3)^2 =(20-24)^2 =(-4)^2 =16 \]

    Answer: \[ \boxed{16} \]


    (c) Find the value of \(4x^2+\dfrac{9}{x^2}-12\), when \(x=2\).

    \[ 4x^2+\frac{9}{x^2}-12 =(2x)^2+\left(\frac3x\right)^2-2(2x)\left(\frac3x\right) \] \[ =\left(2x-\frac3x\right)^2 \] Substituting \(x=2\), \[ =\left(2\times2-\frac32\right)^2 \] \[ =\left(4-\frac32\right)^2 =\left(\frac52\right)^2 =\frac{25}{4} \] \[ =6.25 \]

    Answer: \[ \boxed{\frac{25}{4}} \] or \[ \boxed{6.25} \]

    Exercise 5.1 – Part 6

    Q5. If \(x+\dfrac{1}{x}=3\), find the values of \(x^2+\dfrac{1}{x^2}\) and \(x^4+\dfrac{1}{x^4}\).

    Given:

    \[ x+\frac1x=3 \]

    Step 1: Find \(x^2+\dfrac1{x^2}\).

    \[ \left(x+\frac1x\right)^2 =x^2+\frac1{x^2}+2 \] \[ 3^2=x^2+\frac1{x^2}+2 \] \[ 9=x^2+\frac1{x^2}+2 \] \[ x^2+\frac1{x^2}=7 \]

    Step 2: Find \(x^4+\dfrac1{x^4}\).

    \[ \left(x^2+\frac1{x^2}\right)^2 =x^4+\frac1{x^4}+2 \] \[ 7^2=x^4+\frac1{x^4}+2 \] \[ 49=x^4+\frac1{x^4}+2 \] \[ x^4+\frac1{x^4}=47 \]

    Answer: \[ \boxed{x^2+\frac1{x^2}=7} \] \[ \boxed{x^4+\frac1{x^4}=47} \]

    Q6. If \(x+\dfrac1x=\sqrt5\), find the values of \(x^2+\dfrac1{x^2}\) and \(x^4+\dfrac1{x^4}\).

    Given:

    \[ x+\frac1x=\sqrt5 \]

    Step 1: Find \(x^2+\dfrac1{x^2}\).

    \[ \left(x+\frac1x\right)^2 =x^2+\frac1{x^2}+2 \] \[ (\sqrt5)^2=x^2+\frac1{x^2}+2 \] \[ 5=x^2+\frac1{x^2}+2 \] \[ x^2+\frac1{x^2}=3 \]

    Step 2: Find \(x^4+\dfrac1{x^4}\).

    \[ \left(x^2+\frac1{x^2}\right)^2 =x^4+\frac1{x^4}+2 \] \[ 3^2=x^4+\frac1{x^4}+2 \] \[ 9=x^4+\frac1{x^4}+2 \] \[ x^4+\frac1{x^4}=7 \]

    Answer: \[ \boxed{x^2+\frac1{x^2}=3} \] \[ \boxed{x^4+\frac1{x^4}=7} \]

    Exercise 5.1 – Part 7

    Q7. If \(x^2+\dfrac{1}{x^2}=38\), find the values of \(x+\dfrac{1}{x}\) and \(x-\dfrac{1}{x}\).

    Given:

    \[ x^2+\frac1{x^2}=38 \]

    Step 1: Find \(x+\dfrac1x\).

    \[ \left(x+\frac1x\right)^2 =x^2+\frac1{x^2}+2 \] \[ =\;38+2 =40 \] \[ x+\frac1x =\sqrt{40} =2\sqrt{10} \]

    Step 2: Find \(x-\dfrac1x\).

    \[ \left(x-\frac1x\right)^2 =x^2+\frac1{x^2}-2 \] \[ =\;38-2 =36 \] \[ x-\frac1x =\sqrt{36} =6 \]

    Answer: \[ \boxed{x+\frac1x=2\sqrt{10}} \] \[ \boxed{x-\frac1x=6} \]

    Q8. If \(9x^2+25y^2=181\) and \(xy=-6\), find the value of \(3x+5y\).

    Given:

    \[ 9x^2+25y^2=181,\qquad xy=-6 \]

    Using the identity

    \[ (3x+5y)^2 =9x^2+25y^2+30xy \] \[ =181+30(-6) \] \[ =181-180 =1 \] \[ 3x+5y=\sqrt1=1 \]

    Answer: \[ \boxed{3x+5y=1} \]

    Q9. If \(3x-7y=10\) and \(xy=-1\), find the value of \(9x^2+49y^2\).

    Given:

    \[ 3x-7y=10,\qquad xy=-1 \]

    Using the identity

    \[ (3x-7y)^2 =9x^2+49y^2-42xy \] \[ 10^2 =9x^2+49y^2-42(-1) \] \[ 100 =9x^2+49y^2+42 \] \[ 9x^2+49y^2 =100-42 =58 \]

    Answer: \[ \boxed{58} \]

    Exercise 5.1 – Part 8A

    Q10. Simplify.

    (a) Simplify \( \left(\frac12a-3b\right)\left(3b+\frac12a\right)\left(\frac14a^2+9b^2\right) \).

    \[ \left(\frac12a-3b\right) \left(\frac12a+3b\right) =\left(\frac12a\right)^2-(3b)^2 \] \[ =\frac14a^2-9b^2 \] Now, \[ \left(\frac14a^2-9b^2\right) \left(\frac14a^2+9b^2\right) \] Again using \[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \] \[ =\left(\frac14a^2\right)^2-(9b^2)^2 \] \[ =\frac1{16}a^4-81b^4 \]

    Answer: \[ \boxed{\frac1{16}a^4-81b^4} \]


    (b) Simplify \( \left(m+\frac n5\right)^3\left(m-\frac n5\right) \).

    \[ \left(m+\frac n5\right)^3 \left(m-\frac n5\right) = \left(m+\frac n5\right)^2 \left(m+\frac n5\right) \left(m-\frac n5\right) \] Using \[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \] \[ = \left(m+\frac n5\right)^2 \left(m^2-\frac{n^2}{25}\right) \] This is the simplified form.

    Answer: \[ \boxed{\left(m+\frac n5\right)^2 \left(m^2-\frac{n^2}{25}\right)} \]


    (c) Simplify \( (x^3-3x^2-x)(x^2-3x+1) \).

    Factor the first expression: \[ x^3-3x^2-x = x(x^2-3x-1) \] Therefore, \[ x(x^2-3x-1)(x^2-3x+1) \] Using \[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \] where \[ a=x^2-3x,\qquad b=1 \] \[ =x\left[(x^2-3x)^2-1\right] \] Expanding, \[ =x(x^4-6x^3+9x^2-1) \] \[ =x^5-6x^4+9x^3-x \]

    Answer: \[ \boxed{x^5-6x^4+9x^3-x} \]

    Exercise 5.1 – Part 8B

    Q10. Simplify.

    (d) Simplify \( (2x^4-4x^2+1)(2x^4-4x^2-1) \).

    Let \[ a=2x^4-4x^2,\qquad b=1 \] Using \[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \] \[ (2x^4-4x^2+1)(2x^4-4x^2-1) =(2x^4-4x^2)^2-1 \] \[ =\left(2x^4\right)^2 -2(2x^4)(4x^2) +\left(4x^2\right)^2-1 \] \[ =4x^8-16x^6+16x^4-1 \]

    Answer: \[ \boxed{4x^8-16x^6+16x^4-1} \]


    (e) Simplify \(0.76\times0.76+2\times0.76\times0.24+0.24\times0.24\).

    Using \[ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 \] where \[ a=0.76,\qquad b=0.24 \] \[ =(0.76+0.24)^2 \] \[ =1^2 =1 \]

    Answer: \[ \boxed{1} \]


    (f) Simplify \( \dfrac{7.83\times7.83-1.17\times1.17}{6.66} \).

    Using \[ a^2-b^2=(a+b)(a-b) \] \[ =\frac{(7.83+1.17)(7.83-1.17)}{6.66} \] \[ =\frac{9\times6.66}{6.66} \] \[ =9 \]

    Answer: \[ \boxed{9} \]

    Exercise 5.1 – Part 10

    Q11. Prove that:
    \[ 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca = (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \] L.H.S. \[ =2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca \] Now, \[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \] \[ (b-c)^2=b^2-2bc+c^2 \] \[ (c-a)^2=c^2-2ca+a^2 \] Adding, \[ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \] \[ =(a^2-2ab+b^2) +(b^2-2bc+c^2) +(c^2-2ca+a^2) \] \[ =2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca \] \[ =\text{L.H.S.} \] Hence, \[ \boxed{ 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca =(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 } \] Hence Proved.

    Q12. Prove that
    \[ a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \] Using the result of Question 11, \[ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 = 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca \] Dividing both sides by 2, \[ a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = \frac12\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right] \] Since every square is non-negative, \[ (a-b)^2\ge0,\qquad (b-c)^2\ge0,\qquad (c-a)^2\ge0 \] Therefore, \[ \frac12\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right]\ge0 \] Hence, \[ \boxed{ a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0 } \] Thus, \[ \boxed{ a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \text{ is always non-negative.} } \] Hence Proved.

  • Ex. 4.3

    Exercise – 4.3

    Q1. Express each of the following as mixed radicals.

    (a) Express \( \sqrt{18} \) as a mixed radical.

    \[ \sqrt{18} =\sqrt{9\times2} =\sqrt9\times\sqrt2 =3\sqrt2 \]

    Answer: \(3\sqrt2\)


    (b) Express \( \sqrt{45} \) as a mixed radical.

    \[ \sqrt{45} =\sqrt{9\times5} =\sqrt9\times\sqrt5 =3\sqrt5 \]

    Answer: \(3\sqrt5\)


    (c) Express \( \sqrt{405} \) as a mixed radical.

    \[ \sqrt{405} =\sqrt{81\times5} =\sqrt{81}\times\sqrt5 =9\sqrt5 \]

    Answer: \(9\sqrt5\)


    (d) Express \( \sqrt{300} \) as a mixed radical.

    \[ \sqrt{300} =\sqrt{100\times3} =\sqrt{100}\times\sqrt3 =10\sqrt3 \]

    Answer: \(10\sqrt3\)


    (e) Express \( \sqrt{180} \) as a mixed radical.

    \[ \sqrt{180} =\sqrt{36\times5} =\sqrt{36}\times\sqrt5 =6\sqrt5 \]

    Answer: \(6\sqrt5\)

    Q2. Express each of the following as pure radicals.

    (a) Express \(2\sqrt6\) as a pure radical.

    \[ 2\sqrt6 =\sqrt4\times\sqrt6 =\sqrt{24} \]

    Answer: \(\sqrt{24}\)


    (b) Express \(5\sqrt7\) as a pure radical.

    \[ 5\sqrt7 =\sqrt{25}\times\sqrt7 =\sqrt{175} \]

    Answer: \(\sqrt{175}\)


    (c) Express \(4\sqrt5\) as a pure radical.

    \[ 4\sqrt5 =\sqrt{16}\times\sqrt5 =\sqrt{80} \]

    Answer: \(\sqrt{80}\)


    (d) Express \(6\sqrt{10}\) as a pure radical.

    \[ 6\sqrt{10} =\sqrt{36}\times\sqrt{10} =\sqrt{360} \]

    Answer: \(\sqrt{360}\)


    (e) Express \(10\sqrt{13}\) as a pure radical.

    \[ 10\sqrt{13} =\sqrt{100}\times\sqrt{13} =\sqrt{1300} \]

    Answer: \(\sqrt{1300}\)

    Exercise 4.3 – Part 2

    Q3. Simplify.

    (a) Simplify \( \sqrt6 \times \sqrt2 \).

    \[ \sqrt6\times\sqrt2 =\sqrt{6\times2} =\sqrt{12} =\sqrt{4\times3} =2\sqrt3 \]

    Answer: \(2\sqrt3\)


    (b) Simplify \( \sqrt5 \times \sqrt{30} \times \sqrt8 \times \sqrt3 \).

    \[ \sqrt5\times\sqrt{30}\times\sqrt8\times\sqrt3 =\sqrt{5\times30\times8\times3} =\sqrt{3600} =60 \]

    Answer: \(60\)


    (c) Simplify \(8\sqrt3 \times 7\sqrt5 \div 14\sqrt{15}\).

    \[ =\frac{8\sqrt3\times7\sqrt5}{14\sqrt{15}} \] \[ =\frac{56\sqrt{15}}{14\sqrt{15}} =\frac{56}{14} =4 \]

    Answer: \(4\)


    (d) Simplify \( \sqrt{96} \div \sqrt{12} \).

    \[ \frac{\sqrt{96}}{\sqrt{12}} =\sqrt{\frac{96}{12}} =\sqrt8 =\sqrt{4\times2} =2\sqrt2 \]

    Answer: \(2\sqrt2\)


    (e) Simplify \( (3\sqrt2+5)(3\sqrt2-5) \).

    \[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \] \[ =(3\sqrt2)^2-5^2 \] \[ =9\times2-25 =18-25 =-7 \]

    Answer: \(-7\)

    Exercise 4.3 – Part 3

    Q4. Simplify.

    (a) Simplify

    \[ \frac{\sqrt{72}\times\sqrt{192}\times\sqrt{242}} {\sqrt{363}\times\sqrt{48}\times\sqrt{108}} \] \[ =\sqrt{\frac{72\times192\times242}{363\times48\times108}} \] \[ =\sqrt{\frac{(3^2\times2^3)(3\times2^6)(11^2\times2)} {(11\times3\times11)(3\times2^4)(2^2\times3^3)}} \] \[ =\sqrt{\frac{2^6}{3^2}} =\sqrt{\frac{64}{9}} =\frac{8}{3} \]

    Answer: \(\dfrac{8}{3}\)


    (b) Simplify \( \sqrt8\times\sqrt{30}\times\sqrt3\times\sqrt5 \).

    \[ =\sqrt{8\times30\times3\times5} =\sqrt{3600} =60 \]

    Answer: \(60\)


    (c) Simplify \( \sqrt{40}+\sqrt{90}-\sqrt{18}-\sqrt{160}+\sqrt{32} \).

    \[ =2\sqrt{10}+3\sqrt{10}-3\sqrt2-4\sqrt{10}+4\sqrt2 \] \[ =(2+3-4)\sqrt{10}+(-3+4)\sqrt2 \] \[ =\sqrt{10}+\sqrt2 \]

    Answer: \(\sqrt{10}+\sqrt2\)


    (d) Simplify \( (\sqrt5+\sqrt2)^2+(\sqrt5-\sqrt2)^2 \).

    \[ (\sqrt5+\sqrt2)^2 =5+2+2\sqrt{10} =7+2\sqrt{10} \] \[ (\sqrt5-\sqrt2)^2 =5+2-2\sqrt{10} =7-2\sqrt{10} \] \[ (7+2\sqrt{10})+(7-2\sqrt{10}) =14 \]

    Answer: \(14\)

    Exercise 4.3 – Part 4A

    Q.5 Simplify by rationalizing the denominator.

    (a) Simplify \( \dfrac{2}{\sqrt3} \).

    \[ \frac{2}{\sqrt3}\times\frac{\sqrt3}{\sqrt3} =\frac{2\sqrt3}{3} \]

    Answer: \(\frac{2\sqrt3}{3}\)


    (b) Simplify \( \dfrac{7\sqrt2}{\sqrt5} \).

    \[ \frac{7\sqrt2}{\sqrt5}\times\frac{\sqrt5}{\sqrt5} =\frac{7\sqrt{10}}{5} \]

    Answer: \(\frac{7\sqrt{10}}{5}\)


    (c) Simplify \( \dfrac{9}{\sqrt{10}} \).

    \[ \frac{9}{\sqrt{10}}\times\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} =\frac{9\sqrt{10}}{10} \]

    Answer: \(\frac{9\sqrt{10}}{10}\)


    (d) Simplify \( \dfrac{5-\sqrt2}{\sqrt7} \).

    \[ \frac{5-\sqrt2}{\sqrt7}\times\frac{\sqrt7}{\sqrt7} =\frac{5\sqrt7-\sqrt{14}}{7} \]

    Answer: \(\frac{5\sqrt7-\sqrt{14}}{7}\)


    (e) Simplify \( \dfrac{2-\sqrt3}{\sqrt{75}} \).

    \[ \sqrt{75}=5\sqrt3 \] \[ \frac{2-\sqrt3}{5\sqrt3}\times\frac{\sqrt3}{\sqrt3} =\frac{2\sqrt3-3}{15} \]

    Answer: \(\frac{2\sqrt3-3}{15}\)

    Exercise 4.3 – Part 4B

    Q.5 Simplify by rationalizing the denominator.

    (f) Simplify \( \dfrac{8}{3\sqrt2} \).

    \[ \frac{8}{3\sqrt2}\times\frac{\sqrt2}{\sqrt2} =\frac{8\sqrt2}{6} =\frac{4\sqrt2}{3} \]

    Answer: \(\frac{4\sqrt2}{3}\)


    (g) Simplify \( \dfrac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt2} \).

    \[ \frac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt2}\times\frac{\sqrt2}{\sqrt2} =\frac{\sqrt6+2}{2} \]

    Answer: \(\frac{\sqrt6+2}{2}\)


    (h) Simplify \( \dfrac{7}{\sqrt{10}+\sqrt3} \).

    \[ \frac{7}{\sqrt{10}+\sqrt3} \times \frac{\sqrt{10}-\sqrt3}{\sqrt{10}-\sqrt3} \] \[ = \frac{7(\sqrt{10}-\sqrt3)} {10-3} \] \[ = \sqrt{10}-\sqrt3 \]

    Answer: \(\sqrt{10}-\sqrt3\)


    (i) Simplify \( \dfrac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt3-\sqrt2} \).

    \[ \frac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt3-\sqrt2} \times \frac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2} \] \[ = \frac{(\sqrt3+\sqrt2)^2} {3-2} \] \[ = 3+2+2\sqrt6 \] \[ = 5+2\sqrt6 \]

    Answer: \(5+2\sqrt6\)


    (j) Simplify \( \dfrac{\sqrt5-\sqrt6}{\sqrt5+\sqrt6} \).

    \[ \frac{\sqrt5-\sqrt6}{\sqrt5+\sqrt6} \times \frac{\sqrt5-\sqrt6}{\sqrt5-\sqrt6} \] \[ = \frac{(\sqrt5-\sqrt6)^2} {5-6} \] \[ = \frac{5+6-2\sqrt{30}} {-1} \] \[ = 2\sqrt{30}-11 \]

    Answer: \(2\sqrt{30}-11\)

    Exercise 4.3 – Part 5

    Q.6 If \( \sqrt2 = 1.414 \) and \( \sqrt7 = 2.646 \), find the value of each of the following correct to 2 decimal places.

    (a) Find \( \dfrac{3}{\sqrt2} \).

    \[ \frac{3}{\sqrt2} =\frac{3}{1.414} \approx2.1216 \] \[ \boxed{2.12} \]

    Answer: \(2.12\)


    (b) Find \( \dfrac{\sqrt2}{3} \).

    \[ \frac{\sqrt2}{3} =\frac{1.414}{3} \approx0.4713 \] \[ \boxed{0.47} \]

    Answer: \(0.47\)


    (c) Find \( \dfrac{6}{\sqrt7-1} \).

    \[ =\frac{6}{2.646-1} =\frac{6}{1.646} \approx3.6452 \] \[ \boxed{3.65} \]

    Answer: \(3.65\)


    (d) Find \( \dfrac{5+\sqrt2}{5-\sqrt2} \).

    \[ =\frac{5+1.414}{5-1.414} =\frac{6.414}{3.586} \approx1.7881 \] \[ \boxed{1.79} \]

    Answer: \(1.79\)


    (e) Find \( \dfrac{1-\sqrt7}{1+\sqrt7} \).

    \[ =\frac{1-2.646}{1+2.646} =\frac{-1.646}{3.646} \approx-0.4515 \] \[ \boxed{-0.45} \]

    Answer: \(-0.45\)

    Note: All answers have been rounded to 2 decimal places.