📘 Basic Notes: The Number System (संख्या पद्धति)

From Digits & Numerals to Types of Numbers | Bilingual Study Guide (English & Hindi)

Part 1: Building Blocks of Numbers (संख्याओं की बुनियाद)

1. Digits (अंक)

English: Digits are the single basic symbols used to form any number. Math uses 10 digits to create infinite numbers.
Hindi: किसी भी संख्या को लिखने के लिए जिन मूल चिन्हों (सिंबल) का प्रयोग किया जाता है, उन्हें अंक (Digits) कहते हैं। गणित में कुल 10 अंक होते हैं:

$$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$$

2. Number vs. Numeral (संख्या और संख्यांक)

Number (संख्या): The actual idea of count or quantity (जैसे—टोकरी में रखे $25$ सेब की मात्रा एक ‘संख्या’ है).
Numeral (संख्यांक): The written group of digits representing that number on paper (संख्या को अंकों में लिखना ‘संख्यांक’ कहलाता है, जैसे: $25$ या $548$).

3. Face Value vs. Place Value (जातीय मान और स्थानीय मान)

Let us take the digit $\mathbf{7}$ in the number $4,\mathbf{7}82$ (संख्या $4,\mathbf{7}82$ में अंक $\mathbf{7}$ का उदाहरण):

Term (शब्द)	Meaning (अर्थ)	Example in $4,\mathbf{7}82$
Face Value (जातीय / अंकित मान)	The value of the digit itself. It never changes with position. (किसी अंक का जातीय मान हमेशा वही अंक खुद होता है, स्थान बदलने से नहीं बदलता।)	Face value of $7$ is: $$\mathbf{7}$$
Place Value (स्थानीय मान)	The value of the digit based on its place (Ones, Tens, Hundreds). (अंक किस स्थान—इकाई, दहाई, सैकड़ा—पर है, उसके अनुसार उसका मान।)	$7$ is at Hundreds (सैकड़ा) place: $$7 \times 100 = \mathbf{700}$$

4. Indian vs. International System (भारतीय और अंतर्राष्ट्रीय गणना प्रणाली)

Indian System (भारतीय प्रणाली): First comma after $3$ digits from the right, then after every $2$ digits (दाएं से पहले $3$ अंकों के बाद कॉमा, फिर हर $2$-$2$ अंकों के बाद).
Example: $5,43,21,000 \rightarrow$ $5$ Crore, $43$ Lakh, $21$ Thousand ($5$ करोड़ $43$ लाख $21$ हज़ार).
International System (अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली): Comma after every $3$ digits from the right (दाएं से हर $3$-$3$ अंकों के बाद कॉमा).
Example: $54,321,000 \rightarrow$ $54$ Million, $321$ Thousand ($54$ मिलियन $321$ हज़ार).
Key Conversion (महत्वपूर्ण संबंध): $\mathbf{1\text{ Million} = 10\text{ Lakhs}}$ ($10^6$) and $\mathbf{1\text{ Billion} = 100\text{ Crores}}$ ($10^9$).

Part 2: Main Family of Numbers (संख्याओं का मुख्य परिवार)

1. Natural Numbers (प्राकृतिक संख्याएं) — Symbol: $\mathbb{N}$

English: Counting numbers that start from $1$ and go to infinity ($\infty$). Zero ($0$) is not a natural number.
Hindi: गिनती गिनने वाली संख्याएं जो $1$ से शुरू होकर अनंत ($\infty$) तक जाती हैं। सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या $1$ है।
Set: $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, \dots \infty\}$

2. Whole Numbers (पूर्ण संख्याएं) — Symbol: $\mathbb{W}$

English: Natural numbers along with Zero ($0$) form Whole Numbers. Smallest whole number is $0$.
Hindi: जब प्राकृतिक संख्याओं के परिवार में शून्य ($0$) को भी शामिल कर लिया जाता है, तो उन्हें पूर्ण संख्याएं कहते हैं।
Set: $\mathbb{W} = \{\mathbf{0}, 1, 2, 3, 4, 5, \dots \infty\}$

3. Integers (पूर्णांक) — Symbol: $\mathbb{Z}$ or $\mathbb{I}$

English: All positive numbers, negative numbers, and zero without any fractional or decimal part.
Hindi: सभी धनात्मक संख्याएं ($+$), ऋणात्मक संख्याएं ($-$) और शून्य ($0$) मिलकर पूर्णांक बनाते हैं। ($0$ न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक; $-1$ सबसे बड़ा ऋणात्मक पूर्णांक है।)
Set: $\mathbb{Z} = \{\dots -4, -3, -2, -1, \mathbf{0}, +1, +2, +3, +4 \dots\}$

4. Fractions (भिन्न)

English & Hindi: Represents a part of a whole, written as $\frac{\text{Numerator (अंश)}}{\text{Denominator (हर)}}$.
Proper (उचित भिन्न): Numerator is smaller than Denominator $\left(\text{e.g., } \frac{2}{5}, \frac{3}{7}\right)$.
Improper (अनुचित भिन्न): Numerator is greater than Denominator $\left(\text{e.g., } \frac{7}{4}, \frac{9}{2}\right)$.
Mixed (मिश्रित भिन्न): Whole number + Proper fraction $\left(\text{e.g., } 2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}\right)$.

5. Rational Numbers (परिमेय संख्याएं) — Symbol: $\mathbb{Q}$

English: Any number that can be written in the form $\frac{p}{q}$, where $p, q \in \mathbb{Z}$ (Integers) and $q \neq 0$.
Hindi: वे सभी संख्याएं जिन्हें $\frac{p}{q}$ (अंश/हर) के रूप में लिखा जा सके, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हों और नीचे वाली संख्या $q$ कभी भी शून्य न हो ($q \neq 0$)।
Examples: $\frac{3}{4}, -\frac{7}{8}, 5 \left(\text{as } \frac{5}{1}\right), 0 \left(\text{as } \frac{0}{1}\right), 0.5, 0.\overline{3}$

6. Irrational Numbers (अपरिमेय संख्याएं) & Real Numbers ($\mathbb{R}$)

Irrational Numbers (अपरिमेय संख्याएं): Numbers that cannot be written in $\frac{p}{q}$ form. Their decimals are non-terminating and non-repeating (वे संख्याएं जिन्हें $\frac{p}{q}$ में नहीं लिखा जा सकता, जैसे जिनका पूरा वर्गमूल न निकले).
Examples: $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \pi$ (Note: $\sqrt{4} = 2$, so $\sqrt{4}$ is Rational!)
Real Numbers (वास्तविक संख्याएं — $\mathbb{R}$): All Rational and Irrational numbers together form Real Numbers ($\mathbb{N} \subset \mathbb{W} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$).

Part 3: Special Types of Numbers (अन्य महत्वपूर्ण संख्याएं)

Type (प्रकार)	Definition (परिभाषा)	Examples (उदाहरण)	Key Fact (मुख्य तथ्य)
1. Even Numbers (सम संख्याएं)	Numbers completely divisible by $2$. (जो संख्याएं $2$ से पूरी तरह विभाजित हो जाएं।)	$2, 4, 6, 8, 10, 48$	Last digit is always $0, 2, 4, 6,$ or $8$.
2. Odd Numbers (विषम संख्याएं)	Numbers not divisible by $2$. (जो संख्याएं $2$ से पूरी तरह विभाजित न हों।)	$1, 3, 5, 7, 9, 53$	Last digit is always $1, 3, 5, 7,$ or $9$.
3. Prime Numbers (अभाज्य संख्याएं)	Numbers greater than $1$ having exactly $2$ factors ($1$ and itself). (जो केवल $1$ और खुद के पहाड़े से कटें।)	$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$	$\mathbf{2}$ is the smallest and only even prime number.
4. Composite Numbers (भाज्य संख्याएं)	Numbers having more than $2$ factors. (जो $1$ और खुद के अलावा अन्य पहाड़ों से भी कटें।)	$4, 6, 8, 9, 10, 12, 15$	$\mathbf{4}$ is the smallest composite number.
5. Co-Prime Numbers (सह-अभाज्य संख्याएं)	Pair of numbers whose common factor is only $1$ ($\text{HCF} = 1$). (दो संख्याओं का जोड़ा जिनका $\text{HCF} = 1$ हो।)	$(3, 5), (8, 9), (14, 15)$	Both numbers need not be prime (e.g., $8$ and $9$).
6. Twin Primes (जुड़वां अभाज्य)	Pair of prime numbers with a difference of $2$. (ऐसी दो अभाज्य संख्याएं जिनका अंतर $2$ हो।)	$(3, 5), (5, 7), (11, 13)$	Both numbers must be prime.

🌟 5 Golden Exam Points to Remember (हमेशा याद रखने वाले 5 नियम)

Number $1$ is unique: $1$ is neither Prime nor Composite ($1$ न तो भाज्य है और न ही अभाज्य).
Number $2$ is special: $2$ is the only Even Prime number; all other primes are odd ($2$ इकलौती सम अभाज्य संख्या है).
Division with Zero: $\frac{0}{5} = 0$ is valid, but $\frac{5}{0} = \text{Undefined (अपरिभाषित)}$ — we can never divide by $0$.
Count of Primes: Between $1$ and $50$ there are $\mathbf{15}$ primes; between $1$ and $100$ there are $\mathbf{25}$ primes.
Subset Hierarchy: Every Natural number is a Whole number ($\mathbb{N} \subset \mathbb{W}$), and every Whole number is an Integer ($\mathbb{W} \subset \mathbb{Z}$), but the reverse is false!

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